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N/A 2014. 2. 6. 14:16행렬에 관해서 (2)
Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.
Minimal Polynomial을 살펴보자.
이하 Minimal Polynomial라고 서술하겠다. 먼저 정의는 간단하다. Monic polynomial이고 1f(A)=0n,n (A는 행렬)인 최소 order의 polynomial을 가리킨다.
Thm. n by n matrix A에 대해 order이 n이하인 minimal polynomial이 존재한다.
pf. n by n의 증명은 님이 하셈. ◼
어짜피 나는 고교과정에서 써먹고 있기 때문에 2 by 2만 본다면 C.H가 곧 이 정리를 만족한다. 이 때 minimal polynomial은 characteristic equation이 된다. 하지만 아래 내용에 대해 존재성을 보여줘야 하므로 필요는 함.
Thm. n by n matrix A에 대해 minimal polynomial은 uniqueness.
pf. By reductio ad absurdum, Let f(A)=0n,n, g(A)=0n,n, 따라서 f(x), g(x)가 Minimal Polynomial라고 하자. By definition, 두 Minimal Polynomial의 order은 최소로 같아야 한다.
Put h(x)=f(x)−g(x), then, h(A)=f(A)−g(A)=0n,n이므로, order이 적어도 1만큼 작은 Minimal Polynomial h(x)가 존재하므로 모순이다. ◼
Thm. Matrix A의 Minimal Polynomial : f(x)이고 임의의 polynomial g(x)가 g(A)=0n,n일 NSC는 f(x)가 g(x)의 인수가 되어야 하는 것이다.
pf. (←) Clearly.
(→) By reductio ad absurdum,
Let g(x)=f(x)q(x)+r(x), 몫이 q(x)이고 나머지는 r(x)이다.
then, r(A)=−f(A)q(A)이므로, r(x)의 order에서 모순이 생긴다. 2∴ r(x)=0 ∴ g(x)=f(x)q(x) ◼
이것으로 An=02,2 → A2=02,2 같은 것에 써먹을 수 있다. 원래는 다음과 같이 증명했었다.
A=02,2일 때는 Clearly, A≠02,2일 때, C.H에 따라 A2−tr(A)A+det(A)E=02,2이고, det(A)=0이므로, ∴ A2=tr(A)A → An=tr(A)n−1A이고, A≠02,2 then, tr(A)=0
∴ A2=02,2이다.
이제는 이렇게 하면 된다.
An을 만족하는 Minimal Polynomial가 존재하고, 이차 이하의 polynomial이다. xn의 인수 중 이를 만족하는 것은 둘이 있는데 이는 항상 A2=02,2를 성립하게 한다.
위에 따라,
Thm. 이차정사각행렬 A≠kE (k∈R), 유일하게 만족하는 quadratic equation은 C.H밖에 없다.
pf. Minimal Polynomial에 의해 characteristic equation이 유일하고 C.H에 의해 characteristic equation은 항상 만족하여야 하므로 성립한다. ◼
현대대수 책을 사야겠다. ㅠㅠ
Keyword : 행렬, 최소다항식, matrix, minimal polynomial
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