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N/A 2014. 2. 6. 14:16

행렬에 관해서 (2)

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.


Minimal Polynomial을 살펴보자.

이하 Minimal Polynomial라고 서술하겠다. 먼저 정의는 간단하다. Monic polynomial[각주:1]이고 f(A)=0n,n (A는 행렬)인 최소 order의 polynomial을 가리킨다.

Thm. n by n matrix A에 대해 order이 n이하인 minimal polynomial이 존재한다.

pf. n by n의 증명은 님이 하셈.  
어짜피 나는 고교과정에서 써먹고 있기 때문에 2 by 2만 본다면 C.H가 곧 이 정리를 만족한다. 이 때 minimal polynomial은 characteristic equation이 된다. 하지만 아래 내용에 대해 존재성을 보여줘야 하므로 필요는 함.



Thm. n by n matrix A에 대해 minimal polynomial은 uniqueness.

pf. By reductio ad absurdum, Let f(A)=0n,n, g(A)=0n,n, 따라서 f(x), g(x)가 Minimal Polynomial라고 하자. By definition, 두 Minimal Polynomial의 order은 최소로 같아야 한다.

Put  h(x)=f(x)g(x), then, h(A)=f(A)g(A)=0n,n이므로, order이 적어도 1만큼 작은 Minimal Polynomial h(x)가 존재하므로 모순이다.  



Thm. Matrix A의 Minimal Polynomial : f(x)이고 임의의 polynomial g(x)g(A)=0n,n일 NSC는 f(x)g(x)의 인수가 되어야 하는 것이다.

pf. () Clearly.
() By reductio ad absurdum, 
Let  g(x)=f(x)q(x)+r(x), 몫이 q(x)이고 나머지는 r(x)이다.
then,  r(A)=f(A)q(A)이므로, r(x)의 order에서 모순이 생긴다.[각주:2]  r(x)=0   g(x)=f(x)q(x)  


이것으로 An=02,2  A2=02,2 같은 것에 써먹을 수 있다. 원래는 다음과 같이 증명했었다.

A=02,2일 때는 Clearly, A02,2일 때, C.H에 따라 A2tr(A)A+det(A)E=02,2이고, det(A)=0이므로,  A2=tr(A)A  An=tr(A)n1A이고, A02,2 then, tr(A)=0
 A2=02,2이다.


이제는 이렇게 하면 된다.

An을 만족하는 Minimal Polynomial가 존재하고, 이차 이하의 polynomial이다. xn의 인수 중 이를 만족하는 것은 둘이 있는데 이는 항상 A2=02,2를 성립하게 한다.

위에 따라,

Thm. 이차정사각행렬 AkE  (kR), 유일하게 만족하는 quadratic equation은 C.H밖에 없다.

pf. Minimal Polynomial에 의해 characteristic equation이 유일하고 C.H에 의해 characteristic equation은 항상 만족하여야 하므로 성립한다.  



현대대수 책을 사야겠다. ㅠㅠ


Keyword : 행렬, 최소다항식, matrix, minimal polynomial


  1. 최고차항의 rank가 1 [본문으로]
  2. f(x)의 order보다 r(x)의 order이 낮아야하므로. [본문으로]

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