행렬에 관해서 (2)

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

Minimal Polynomial을 살펴보자.

이하 Minimal Polynomial라고 서술하겠다. 먼저 정의는 간단하다. Monic polynomial^[각주:1]이고 $ f(A)= 0_{n,n} $ $(A$는 행렬$)$인 최소 order의 polynomial을 가리킨다.

Thm. n by n matrix $A$에 대해 order이 n이하인 minimal polynomial이 존재한다.

pf. n by n의 증명은 님이 하셈. $~\blacksquare $
어짜피 나는 고교과정에서 써먹고 있기 때문에 2 by 2만 본다면 C.H가 곧 이 정리를 만족한다. 이 때 minimal polynomial은 characteristic equation이 된다. 하지만 아래 내용에 대해 존재성을 보여줘야 하므로 필요는 함.

Thm. n by n matrix $ A $에 대해 minimal polynomial은 uniqueness.

pf. $ \textrm{By reductio ad absurdum, Let}~f(A)=0_{n,n},~g(A)=0_{n,n}$, 따라서 $f(x),~g(x)$가 Minimal Polynomial라고 하자. $ \textrm{By definition,}$ 두 Minimal Polynomial의 order은 최소로 같아야 한다.

$ \textrm{Put }~ h(x)=f(x)-g(x),~\textrm{then, } h(A)=f(A)-g(A)=0_{n,n} $이므로, order이 적어도 1만큼 작은 Minimal Polynomial $ h(x) $가 존재하므로 모순이다. $~\blacksquare $

Thm. Matrix $A$의 Minimal Polynomial : $f(x)$이고 임의의 polynomial $g(x)$가 $g(A)=0_{n,n}$일 NSC는 $f(x)$가 $g(x)$의 인수가 되어야 하는 것이다.

pf. $(\leftarrow)~ \textrm{Clearly.} $
$(\rightarrow)~ \textrm{By reductio ad absurdum, } $
$ \textrm{Let }~g(x)=f(x)q(x) + r(x),$ 몫이 $q(x)$이고 나머지는 $r(x)$이다.
$ \textrm{then, }~ r(A)=-f(A)q(A) $이므로, $r(x)$의 order에서 모순이 생긴다.^[각주:2] $ \therefore ~r(x)=0 ~~\therefore ~ g(x)=f(x)q(x) $ $~\blacksquare $

이것으로 $ A^n = 0_{2,2} ~\rightarrow~ A^2 = 0_{2,2} $ 같은 것에 써먹을 수 있다. 원래는 다음과 같이 증명했었다.

$ A = 0_{2,2}$일 때는 Clearly, $ A \neq 0_{2,2} $일 때, C.H에 따라 $ A^2 -\textrm{tr}(A)A +\textrm{det}(A)E = 0_{2,2} $이고, $\textrm{det}(A) = 0 $이므로, $ \therefore ~ A^2 = \textrm{tr}(A)A ~\rightarrow~ A^n = {\textrm{tr}(A)}^{n-1}A $이고, $ A \neq 0_{2,2}~\textrm{then,}~\textrm{tr}(A)=0$
$ \therefore~A^2 = 0_{2,2} $이다.

이제는 이렇게 하면 된다.

$ A^n $을 만족하는 Minimal Polynomial가 존재하고, 이차 이하의 polynomial이다. $ x^n$의 인수 중 이를 만족하는 것은 둘이 있는데 이는 항상 $ A^2 = 0_{2,2} $를 성립하게 한다.

위에 따라,

Thm. 이차정사각행렬 $ A \neq kE ~~(k \in \mathbb{R})$, 유일하게 만족하는 quadratic equation은 C.H밖에 없다.

pf. Minimal Polynomial에 의해 characteristic equation이 유일하고 C.H에 의해 characteristic equation은 항상 만족하여야 하므로 성립한다. $~\blacksquare $

현대대수 책을 사야겠다. ㅠㅠ

Keyword : 행렬, 최소다항식, matrix, minimal polynomial

1. 최고차항의 rank가 1 [본문으로]
2. f(x)의 order보다 r(x)의 order이 낮아야하므로. [본문으로]