Inverse Trigonometric Functions

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

한국에선 Inverse Trigonometric Functions가 고교 적분 과정에 포함되어 있지 않다. 다른 나라는 어떤지 모르겠다. <수학의 정석 실력 편 - 적분과 통계> P.64에 보면 $\sqrt{a^2 - x^2}$꼴을 설명 없이 그냥 $x= a\sin\theta ~~(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$로 치환하라고 한다.

당연히 적분할 때 왜 그런지 알기 위해선 미분 과정을 보는 게 편하다. 먼저 $y= \sin x$라는 함수를 살펴보자. 당연하지만 $\sin$은 $-1 \le y \le -1$의 값 속에서 주기성을 가진다. 즉, bijection을 만족할 수 없다. 그렇다면 구간을 설정하자. 가장 간단한 숫자인 $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$의 구간을 가지면 One-to-one가 만족한다. 이 경우 우리가 이야기하고자 하는 Inverse Trigonometric Function이 성립할 수 있는 것이다. 역함수의 개념을 되살려 다음과 같음을 알 수 있다.
$$\sin^{-1} x \equiv \arcsin x = y~~ \Longleftrightarrow~~ \sin y = x,~~-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

$y= \sin^{-1} x,~~ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$란 함수에 대해 이제 미분을 생각해보자. 역함수임을 알고 양변을 $x$에 대해 음함수 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구하면, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$이다. 우리가 설정한 domain에서 $\cos y \ge 0$이므로, $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$이다. $\frac{dy}{dx} = \sec y$임을 잊지 말자. 정리하면 $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$이다. 정의역이 $-1 \le x \le 1$였으나, 분모를 고려해 $-1 < x < 1$이 될 것이다.

이제 그 근본적인 이유를 알게 되었다.

$\arcsin x$를 미분하는 것은 이제 알겠다, 그럼 적분은 어떤가? 적분도 간단하다. Integration by Substitution을 적절히 사용하자. 귀찮으니 이제 domain은 안 적겠다. Let $\theta = \arcsin x$라고 하면 $dx = \cos \theta ~d\theta$이므로,
$$\int \arcsin x ~dx = \int \theta \cos \theta~ d\theta$$ 이다.

$\textrm{Integration by Parts, }$
$$\begin{aligned} \int \theta \cos \theta~ d\theta~ &= \theta \sin \theta - \int \sin \theta~d\theta \\ &= \theta \sin \theta + \cos \theta + C \\ &= x\arcsin x +\sqrt{1 - x^2} + C \end{aligned}$$ 이제 적분도 할 줄 알게 되었다.