Inverse Trigonometric Functions

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

한국에선 Inverse Trigonometric Functions가 고교 적분 과정에 포함되어 있지 않다. 다른 나라는 어떤지 모르겠다. <수학의 정석 실력 편 - 적분과 통계> P.64에 보면 $ \sqrt{a^2 - x^2} $꼴을 설명 없이 그냥 $ x= a\sin\theta ~~(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$로 치환하라고 한다.

당연히 적분할 때 왜 그런지 알기 위해선 미분 과정을 보는 게 편하다. 먼저 $ y= \sin x $라는 함수를 살펴보자. 당연하지만 $ \sin $은 $ -1 \le y \le -1 $의 값 속에서 주기성을 가진다. 즉, bijection을 만족할 수 없다. 그렇다면 구간을 설정하자. 가장 간단한 숫자인 $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $의 구간을 가지면 One-to-one가 만족한다. 이 경우 우리가 이야기하고자 하는 Inverse Trigonometric Function이 성립할 수 있는 것이다. 역함수의 개념을 되살려 다음과 같음을 알 수 있다.
$$ \sin^{-1} x \equiv \arcsin x = y~~ \Longleftrightarrow~~ \sin y = x,~~-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} $$

$ y= \sin^{-1} x,~~ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$란 함수에 대해 이제 미분을 생각해보자. 역함수임을 알고 양변을 $ x $에 대해 음함수 미분하여 $ \frac{dy}{dx} $를 구하면, $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} $이다. 우리가 설정한 domain에서 $ \cos y \ge 0 $이므로, $ \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} $이다. $ \frac{dy}{dx} = \sec y $임을 잊지 말자. 정리하면 $ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $이다. 정의역이 $ -1 \le x \le 1 $였으나, 분모를 고려해 $ -1 < x < 1 $이 될 것이다.

이제 그 근본적인 이유를 알게 되었다.

$ \arcsin x $를 미분하는 것은 이제 알겠다, 그럼 적분은 어떤가? 적분도 간단하다. Integration by Substitution을 적절히 사용하자. 귀찮으니 이제 domain은 안 적겠다. Let $ \theta = \arcsin x $라고 하면 $ dx = \cos \theta ~d\theta $이므로,
$$ \int \arcsin x ~dx = \int \theta \cos \theta~ d\theta $$이다.

$\textrm{Integration by Parts, }$
\begin{aligned} \int \theta \cos \theta~ d\theta~ &= \theta \sin \theta - \int \sin \theta~d\theta \\ &= \theta \sin \theta + \cos \theta + C \\ &= x\arcsin x +\sqrt{1 - x^2} + C \end{aligned} 이제 적분도 할 줄 알게 되었다.