행렬에 관해서

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

2 by 2 Matrix의 분류는 다음과 같다고 알려져 있다.
Zero Matrix ($0_{2,2}$), Zero Divisor 짝이 되는 것들 그리고 Invertible Matrix.

즉, $0_{2,2}$가 아닌 singular matrix는 모두 zerodivisor 짝 중 하나가 된다.^[각주:1] zero divisor는 그 conjugate에 해당하는 것이 있어야 행렬곱이 $0_{2,2}$가 된다. 그리고 여기 언급한 conjugate에 대한 NSC^[각주:2]가 있다. 이게 다 일반적인 2 by 2 행렬이 가환군이 아니라서 생긴 일이다.

Thm. $A+\lambda_i E~~(i=1,2) $이 singular이면 $(A+\lambda_1E)(A+\lambda_2E)=0_{2,2} $이다. (단, $ A $는 이차정사각행렬, $E = I_{2} $)

이는 다음과 같이 증명할 수 있다.
pf. $\textrm{By condition, det}(A+\lambda_iE) = 0$이고 이차정사각행렬에서 eigenvalue 수는 최대 2개이므로 $ \lambda_i $는 matrix $ A $의 eigenvalue이다. 따라서 $ (A+\lambda_1E)(A+\lambda_2E)=0_{2,2}~\blacksquare $

Thm. Zero divisor가 될 수 있는 matrix끼리 곱하면 그 결과는 $ 0_{2,2} $이거나 zero divisor이다.

pf. zero divisor가 될 수 있는 행렬^[각주:3]끼리 곱하면 $ 0_{2,2} $라고 생각하는 오개념을 가진 사람이 흔히 보인다. 하지만 $ det(AB) = det(A)\cdot det(B) $에서 결과는 singular이기만 하면 된다. $ det(AB) = 0 $이라고 모두 < $ 0_{2,2} $는 아니니깐. (Not invertible) $~\blacksquare $

Thm. Real Number에 대한 factorization 결과가 $ A = ($일차식$)($이차 이상$)= 0_{2,2} $일 때, 이차식 이상 polynomial은 $ 0_{2,2}$이다. ($A $의 성분은 실수이다.)

pf. matrix $ A,~ i=1,2 $에 대해 $det(A+\lambda_iE) = 0$일 때 두 일차인수가 singular이다. $\textrm{By Reductio ad absurdum, }$ 일차인수가 singular이라고 하자. 그러면 일차인수는 $ A + \lambda_1 ~~(\lambda_1 \in \mathbb{R} )$이다. 따라서 이차인수를 복소수까지 인수분해하면 $ A + \lambda_2 ~~(\lambda_2 \in \mathbb{I} )$를 가진다. 이때 $ \lambda_2 $의 complex conjugate 또한 determinant를 만족하므로 모순이다. ($\because$ characteristic equation이 실수여야하니깐)

따라서 이차 이상의 polynomial이 $ 0_{2,2} $이며, 일차식은 invertible. $~\blacksquare $

Keyword : 행렬, 영인자, 영행렬, 고윳값, 특이행렬, matrix, zero matrix, zero matrix, eigenvalue, singular matrix

1. 편의를 위해 아래에선 이를 그냥 zero divisor이라고 적는 경우가 생길 수 있다. [본문으로]
2. necessary and sufficient condition, 필요충분조건 [본문으로]
3. 즉, singular [본문으로]