물리학과 수학

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

물리학과 수학은 상보적이다.

Q.
김모 네 집 앞 역과 천모 군 집 앞 역을 최소거리 $(l=x+y)$로 운행하는 버스가 있다. 김모 네 집 앞 역엔 버스가 $ a$ 대 있고, 천모 군 쪽엔 $ b $ 대 있다. 버스회사 측에서는 버스 정비소를 만들려고 한다. 한 대당 운송비가 거리의 제곱에 비례할 때 운송비를 최소로 하기위한 정비소의 위치는 김모 네 집 앞 역에서 얼마$(x)$인가?

A1.

수학을 한다면 이렇게 풀린다.

운송비는 $ S = kax^2 + kby^2 $이고, $ y= l-x$에서,

\begin{aligned} S ~&= k(a+b)x^2 - 2kblx + kbl^2 \\ &= k(a+b) \left\{ x^2 - \frac{2bl}{a+b}x + \frac{b^2l^2}{(a+b)^2} - \frac{b^2l^2}{(a+b)^2} \right\} + kbl^2 \end{aligned}

정리하면, $ S = k(a+b) \left ( x- \frac{bl}{a+b} \right)^2 - \frac{kb^2l^2}{a+b} + kbl^2 $이므로, $ x=\frac{bl}{a+b} $에서 최소이다.

A2.
물리을 하면 이렇게 되어버린다.

운송비 $ S = kax^2 + kby^2 $는 $ ka,~kb$의 moment of inertia라고 할 수 있으므로 center of mass 위치$ \left( x= \frac{bl}{a+b} \right) $에서 최소이다.

뭐 관성모멘트 개념이 위를 포함하므로 그런 거니깐.