Closure

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

Topology말고 Set Theory에서 Closure가 뜻하는 바는 다음과 같다.

$ \forall a,~b \in X$ 에 대해 $~a \bullet b \in X $

이는 임의성을 보여주는 것으로 정의역이 element a와 b에 대해 함수 $ f(x) $의 함숫값이 공역에 존재함을 확인한다. 닫혀있다는 것을 알고 난 후에는 일가성 (유일성)도 보여주어야 할 때가 있다. 정의역의 element가 동치류로 이루어져 있는 경우는 일가성을 증명해야 하므로, Well-Defined도 보여주어야 한다.

대부분의 expression은 Commutative Law가 성립해 $ \textrm{(left identity)} = \textrm{(right identity)} $이지만, 아닌 경우도 있기 때문에 이를 표기한다. 두 항이 같아야 identity가 존재한다.

Q.
$ a, b \in \mathbb{R} $에 대해 operation $ * $를 $ a * b = ab - 3(a + b) + k $라고 define하자. 이 때, operation $ * $에 대한 identity가 존재하기 위한 $ k $의 값은 $ m $이고 $ n $의 inverse element는 존재하지 않는다면, m과 n을 구해라.

A.
$ (e-4)a - (3e - k) = 0 $이고, $ \forall a$에 대해 성립해야 하기 때문에 $ e=4 $이고 $ m=k=12 $이 된다. 또한 $ ax - 3(a+x) + 8 = 0 $을 (항)×(항) 형태로 만들면, $ (a-3)(x-3) = 1 $이므로, $ n=a=3 $이다.

한편 inverse의 존재성에 대해 생각해보자. identity가 존재하기 위해선 일단 어떠한 집합과 연산이 정의되어야 했다. 또한 집합에 포함되는 임의의 원소와의 연산에서 다시 그 원소가 나와야 했고 identity 또한 집합에 포함되어 있어야 하며 Commutative Law가 성립해야 한다.^[각주:1] 이럴 때 identity는 존재하며 유일하다. inverse는 어떤가?

역원 또한 Commutative Law는 성립해야 한다. 항등원이 없으면 당연히 역원도 없지만 일단 존재한다고 가정하자. 그러면 역원은 유일할까? 집합내의 임의의 원소에 대해 역원은 유일하지 않다. 아, 특정 원소에 대해서라고 해야 한다고? 사실 특정 원소에 대해서도 유일하다고 할 수 없다. 하지만 Associative Law가 성립하면 유일하다. 웬 뜬금없는 associative law가 등장하냐고? '역'이 성립하려면 bijection이어야 한다. 이제 연산과의 관계를 눈치챘을 것이다. 이것의 증명은 귀류법으로 아주 간단히 가능하다.

$ \textrm{Let} ~~b \circ x_1 = e = b \circ x_2$

$ \textrm{then,}$ \begin{aligned} x_1 &= x_1 \circ e = x_1 \circ (b \circ x_2) = (x_1 \circ b) \circ x_2 = e \circ x_2 \\ &= x_2 \end{aligned}

$$ \therefore x_1 = x_2 $$

따라서 associative law가 성립하면 유일성이 고등수학 수준에선 증명된다.

특별한 집합을 하나 살펴보자. 바로 곱셈에 대해 닫혀있는 원소가 유한 개 (n 개)인 집합. 먼저 문제를 풀면서 실수 범위 내에서 생각해보자.

Q.
Set $ A = \{a_i | a_i \in \mathbb{R},~(i \in \mathbb{N}, i<4) \} $가 곱셈에 대하여 닫혀있을 때, $ \sum _{i=1}^{3}{a_i} $는?

A.
$ \textrm{W.l.o.g,}$ $a_1$을 계속해서 곱해나가면 set은 닫혀있으므로 ${a_1}^4$ 또한 집합에 속한다. 그런데 비둘기집 원리에 의해 $ \{a_1, {a_1}^2, {a_1}^3, {a_1}^4 \}$ 중 어느 두 개는 같은 element이다. 곧, 다음이 성립한다.

$$({a_1}^2-a_1)({a_1}^3 - a_1)({a_1}^4 - a)({a_1}^3 - {a_1}^2)({a_1}^4 - {a_1}^2)({a_1}^4 - {a_1}^3) = 0$$
이를 정리하면 $ {a_1}^{10} ({a_1} - 1)^6 (a_1+1)^2 ({a_1}^2 + a_1 +1) =0$이다. $ {a_1}^2 + a_1 +1 >0$는 절대부등식이므로 $ a_1 = 0 ~ \textrm{or} ~ a_1 = \pm 1$이다. 따라서 element의 합은 0이다.

아주 비슷한 다른 문제를 풀어보자.

Q.
유한 개의 실수를 원소로 가지는 set S가 곱셈과 나눗셈에 대해 닫여있을 때, set S의 개수는?

A.
집합 $ S$에 속하는 임의의 원소 $ a ~(a \in \mathbb{R})$에 대해 set $S$는 곱셈에 대해 닫혀있으므로 $a^n$도 $ S$에 속해야 한다. $ S $는 유한집합이므로 결국 $a^n - a = 0 $을 만족하는 $a $를 구하는 것이다. $ a(a^{n-1} -1) = 0$이므로, $$ \therefore~~a= 0 ~\textrm{or} ~ a= \pm 1$$
이 중 나눗셈에 대하여 닫혀있는 집합은 $ \{1\},~~\{1,~-1\}$ 두 개 뿐이다.

확장하자.

Q.
곱셈에 대해 닫혀있는 원소가 $n$ 개인 집합을 구하라.

A.
집합 $ S$에 속하는 임의의 원소 $ a ~(a \in \mathbb{R})$에 대해 범위를 나누어 생각해보자.

$ |a| >1,$ $ 1<|a|<|a|^2 <\cdots $가 되어 유한집합이라고 할 수 없다.
$ |a| =1,$ $ 1$만으로 집합을 구성할 수 있으며 $ -1 $이 포함되면 $1$도 속해야 한다.
$ |a| <1,$ 0일 경우 집합을 만들 수 있다. 그걸 제외하면 이 경우도 첫 번째와 마찬가지로 실수의 연속성에 따라 유한집합을 만들 수 없다.

복소수 범위로 확장해보자. $ \textrm{Put}~~ S = \{ x_i| i <n+1, ~i \in \mathbb{N},~x_i \in \mathbb{C}-{0}, ~\forall x_{i_1}\neq x_{i_2} \} $. 그러면 $ S$에 속하는 임의의 원소 $ x_j$를 집합에 다시 곱해도 이는 $ x_j (x_{i_1} - x_{i_2}) \neq = 0$이므로 집합은 변함이 없다. 집합 S 원소의 곱과 그 집합 S의 각 원소에 $x_j$를 곱한 그 집합 원소의 곱은 같으므로,

$$ \prod_{i=1}^n {x_i} = {x_j}^n \cdot \prod_{i=1}^n {x_i}~ \rightarrow ~ {x_j}^n = 1 $$
$ \therefore~~ S = \{ x| x^n =1 \} $로 귀결된다. 이 결과는 나눗셈에도 닫혀있다. 여기에 0을 포함하면 나눗셈에 닫혀있지 않은 집합이 된다.

1. 일반적으로 commutative law가 성립하지 않는 연산에서 identity만이 성립하더라도 이를 identity라고 불러준다. [본문으로]