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N/A 2013. 6. 2. 04:13Tunnelling Effect의 문제 하나.
Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.
특정 위치에서 어떠한 입자를 발견할 확률이 $ \Psi^2 $인 것을 알고 시작하자. $ \delta $함수의 퍼텐셜에 대해 무한한 장벽이 있다고 하자. 고전적으론 입자가 가진 에너지와는 전혀 무관하게 무한한 퍼텐셜 장벽$ (V) $을 넘을 수는 없다. 무한보다 더 큰 무한을 에너지적으로 정의할 수 없으므로 $ E < V $이므로 투과계수 $ T=0 $이 된다. 이는 고전역학의 되돌이점을 살펴볼 것을 권한다.
하지만 양자역학적으로 이러한 경우에도 퍼텐셜 장벽을 넘을 확률이 존재한다. 이러한 것을 터널링 효과 (Tunnelling Effect) 라고 한다. 쉽게 말하면 이렇다. 갈릴레이의 사고실험처럼 마찰이 없는 내리막길에 쇠공을 하나 굴리자. 우리는 한쪽을 내리막길보다 더 높게 올려 이차함수 그래프처럼 만들었다. 완벽한 대칭이라고 가정할 경우 대칭축을 기준으로 반대쪽까지 공이 올라갔다가 다른 쪽 같은 높이까지 오고 가는 것을 반복한다. 가지고 있는 퍼텐셜 에너지가 그것밖에 없으므로 이 틀을 벗어날 수 없다. 하지만 아주 미시적인 경우라면 다를 수 있다는 것이다.
Q.
닥터 페퍼가 실온에서 터널링 효과로 쓰러지는데 걸리는 시간이 얼마일까?
A.
$ E>V $, 즉 운동량이 실수인 환경에서 슈뢰딩거 방정식을 x에 의존하는 운동량 $ p= \sqrt{2m(E - V)} $을 이용하고 시간에 의존하지 않는다고 하면 다음과 같이 바꿀 수 있다.
\begin{aligned} &\left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V \right ] \psi= E ~\psi \\ &\frac{d^2 \psi}{dx^2} = - \frac{p^2}{\hbar^2} \psi
\end{aligned}
또한 진폭$ [A(x)] $과 위상 $ [ \phi(x)] $으로 psi를 나타내면, $ \psi (x) = A(x)e^{i \phi(x)} $이다. 이를 두 번 미분하여 대입하면 다음과 같다.
$$ A'' + 2iA' \phi' + iA \phi'' - A(phi')^2 = - \frac{p^2}{\hbar^2} A $$
이를 실수와 허수로 나눠 방정식을 구하면 다음과 같다.
\begin{aligned} &A'' = A \left[ (\phi')^2 - \frac{p^2}{\hbar^2} \right] \\ &\left( A^2 \phi' \right)' = 0 \end{aligned}
만약 $ \frac{A''}{A} << (\phi')^2 - \frac{p^2}{\hbar^2} $이면 두 방정식은 다음과 같고 위상에 대해 정리할 수 있다. (단, $ C $는 Constant, $ C \in \mathbb{R} $)
\begin{aligned} &A = \frac{C}{\sqrt{\phi'}} \\ &\frac{d\phi}{dx} = \pm \frac{p}{\hbar} \\ &\phi (x) - \pm \frac{1}{\hbar} \int p(x)~dx \end{aligned}
결국 파동함수의 근사값은 아래와 같다.
$$ \therefore \phi(x) \simeq \frac{C}{\sqrt{p(x)}} e^{ \pm \int p(x)~dx} $$
이 값은 $ p(x) $가 양수라면 양자역학적인 경우에서도 성립한다. 투과율 $ T $가 입사파와 투과파의 진폭과 관계있는데 이 비는 퍼텐셜 장벽의 너비 $ l $에 대해 $ e^{- \frac{1}{\hbar }\int_{0}^{l} |p(x)|~dx'} $와 관계 있다. 터널링 효과가 나타날 확률이 아주 작은 경우(즉 $ C $가 0에 수렴할 것이다.) 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$ T \simeq e^{- \frac{2}{\hbar} \int_{0}^{l} |p(x)|~dx} $$
오늘은 여기까지만 하고 내일 마저하자.