Curve Motion

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

어떠한 point가 xy-plane 위에서 Curve Motion을 그리며 움직이고 있다. 이 point는 강체 (Rigid Body) 취급할 수 있고 Curve Graph 위 곡률에 따라 특정한 속도의 UCM^[각주:1]을 순간적으로 한다고 생각할 수 있다. 이 속도 $ v(t) $는 전적으로 $ x(t) $와 $ y(t)$에 의존한다.

속도에 따라 구심가속도 $ a(t) $와 그 순간의 반지름 $ r(t) $ 또한 변하게 되며 이에 대한 Expression을 유도할 수 있다. 먼저 순간 각속도 (Instantaneous Angular Velocity)를 다음과 같이 정의하자.

$$  \omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}  $$ 또한 $ \theta = \frac{s}{r} $이기 때문에 $ s $에 대해 정리 후 양변을 미분하면 $ v = \frac{ds}{dt} = \frac{d\theta}{dt} r = \omega r $이 성립한다. 이 경우는 시간에 따라 반지름 $ r $은 변하지 않았지만, 동체인 point의 경우엔 $ r $이 $ t $에 의존성을 가진다. 즉, 다음과 같다.

$$ r(t) = \frac{v(t)}{\omega(t)} $$

또한 이는 정리하여

$$ r(t) = \frac{\tfrac{ds}{dt}}{\tfrac{d\theta}{dt}} $$

가 된다.

xy-plane에서 $ \frac{ds}{dt} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2} $이고, $ \tan \theta = \frac{\tfrac{dy}{dt}}{\tfrac{dx}{dt}} $를 $ t $에 대해 음함수 미분을 해주면, $ \sec^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{y''x' - x''y'}{(x')^2} $이 된다. 이를 $ \frac{d\theta}{dt} $에 대해 정리한 후 도함수로만 이루어진 식을 만들면 다음과 같다. ($\sec$을 $ \tan $으로 만들면 된다.)

$$ \frac{d\theta}{dt} = \frac{y''x' - x''y'}{(x')^2 + (y')^2} $$

이를 위의 $ r(t) $에 대입하고 $ \frac{dt^3}{dx^3} $을 곱해 정리하면,

$$ \therefore~ r(t) = \frac{\left[ 1+(\frac{dy}{dx})^2 \right] ^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^2 y}{dx^2}} $$

1. 등속원운동 [본문으로]