미적분 학습지 6번

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

어느 대학의 심층면접 문제였더라? 다음 수식으로 만들었던 기억이 있다. 그런데 알고 보니 이것도 $\LaTeX$.. 그런데 그 글을 지웠기 때문에 문법을 구할 수는 없고...

미적분 학습지 6번 문제다. 재밌게 풀었다. sin(영덕)과 명규와의 토론은 즐거웠다. 수학적으로 더 발전하는 중요한 계기가 되었다. 약간 폐가 되었을지도. 며칠이 지나고 회장이 니가 했냐고 물은 적이 있다. 물론 내가 했으니 내가 했다고 했는데 그때의 눈빛은 기억에 남는다. 놀라움도 있었겠지만 그게 다가 아니었으니 ㅋ

Q.

$ \frac{\sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2} $이 $ \textrm{max} $와 $ \textrm{min} $이 존재하지 않음을 보여라.

A.

$\textrm{By Mean Value Theorem}$,
$ \sin x : ~C' ~and~ D' $
$\textrm{then,}$ $ \exists~~ t : \frac{\sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2}~=~\cos t $
$ \therefore~~ -1~\le~\frac{\sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2}~\le~1 $ 우헤무헤

$\textrm{Let}$ $ \frac{ \sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2}~=~k~=~1  $
$\textrm{then,}$ $ \sin x_1 - x_1 = \sin x_2 - x_2 $

$\textrm{By Reductio ad adsurdum,}$
$\textrm{put}$ $ f(x) = \sin x - x $
$ f'(x) = cosx -1 $
$ \forall ~ x ~ :~ \cos x \le ~1 \rightarrow ~ f'(x) ~ \le~ 0 $
$\textrm{Also,}$ $ f'(c) = 0, ~ c~:~ $ $\textrm{Discontinuous.}$
$ f(x)~:~ $ $\textrm{decreasing function.}$

$ \therefore \sin x_1 - x_1 \neq \sin x_2 - x_2 $
$ \therefore k \neq 1 $

$\textrm{In the same way,}$ $ k \neq -1 $

$\textrm{Let}$ $ \frac{ \sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2}~=~k~~(k \in (-1,1)~) $
$\textrm{then, put}$ $~ f_{1}(x) = \frac{\sin x}{x}~~(x>0) $
$ \displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x}=1,~ f_1(\pi)=0,~f _1(0)=0 $

$\textrm{By Intermediate Value Theorem,}$
$ \exists~x_1~(x_1>0)~:~\frac{\sin x_1}{x_1}=k~(k \in [0,1)~) $

$\textrm{put}$ $ f_2(x) = \frac{\sin x}{x -\pi}~(x>0) $
$ \displaystyle \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x_1}{x- \pi}~=~\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin (\pi - \theta)}{(\pi - \theta) - \pi}=-1,~f_2(\pi)=0,~f_2(0)=0 $

$\textrm{By Intermediate Value Theorem,}$
$ \exists~x_1~(x_1 > 0)~ :~\frac{\sin x_1}{x_1 - \pi} = k ~(k \in (-1,0)~) $

$ \displaystyle \therefore ~\exists~ x_1, x_2~(x_1,~ x_2 > 0)~:~\frac{\sin x_1 - \sin x_2}{x_1 - x_2} = k~(k \in (-1,0)~) $

($ \because $ 구간 내의 모든 $ \textrm{Real Number}$ $k$를 취할 수 있으므로 $\textrm{max}$와 $\textrm{min}$이 성립하지 않는다.)