Inverse Lorentz Transformation

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

1. Introduction

개정 물리 1을 보다가 Inverse Lorentz Transformation에 대해 적어야 할 것 같다고 느낀다. 책에선 시간 팽창에 대해 너무 대충 유도하는 경향이 있다. 사실 겨우 물리 1에서 현대물리학을 배워야 하는지도 의문이긴 하지만.

2. Time Dilation

먼저 로렌츠 인자를 배우지 않은 상태에서 거울 두 장을 통해 Time Dilation을 유도할 수 있다. 고유시간과 고유길이를 각각 $ t_0 $, $ L_0 $라고 하자. 먼저 두 거울 사이의 거리를 $ L_0 $이라고 하고 그 사이를 빛이 왕복하고 있음을 표현하면 $ t_0 = \frac{2L_0}{c} $이다. 이 관성계가 수평에 대해 $ v $의 속력으로 움직인다면, 속도에 대해 피타고라스 정리를 적용할 수 있다. $$ \left( \frac{ct}{2} \right)^2 = L_0^2 + \left( \frac{vt}{2} \right)^2 $$

이를 관측자에 대해 움직이는 시간 간격인 $ t $에 대해 정리하면 $ t = \frac{2L_0 / c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $이 된다. $ t_0 $를 대입하면 $$ \therefore~ t= \frac{t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ 정리하면, 로렌츠인자 ( $ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $ )가 1보다 작기 때문에 $ t $는 $ t_0 $보다 커지므로 모든 관측자는 움직이는 계의 시간이 느리게 간다고 느낄 것이다.

3. Lorentz Transformation

$ y,~z~~ axis $는 고정, $ x ~~ axis $에 대해 $ v $의 속도로 평행이동하는 계가 있다고 하자. 이 때 두 계에서 일어나는 사건은 Bijection을 만족해야 하므로, 선형이어야 한다. 따라서 $ x' = k(x-vt) $라고 할 수 있다. 아인슈타인의 가정에서 수학적 법칙이 계에서 달라지지 않고 $ x $가 $ vt'$만큼 뒤에 있으므로, $ x= k(x' + vt') $이다. 두 식을 합쳐 $ t' $에 대해 정리하면 $ t' = kt + \left( \frac{1-k^2}{kv}x \right) $이다.

두 번째 가정에서 빛의 속도는 같으므로, 계에 따라 $ x = ct $와 $ x' = ct' $이 각각 성립한다. 식을 연립하여 $ k(x-vt) = ckt + \left( \frac{ 1- k^2}{kv} \right) cx $이 되고 이를 $ x $에 대해 정리하여 $ x = ct $와 비교하면, $ \frac{1 + \frac{v}{c}}{1- \left( \frac{1}{k^2} - 1 \right)\frac{c}{v}} = 1$이어야 한다. 정리하면 $ k $가 Lorentz Factor($ \gamma $)임을 알 수 있다. 각각의 좌표는 다음과 같이 대응된다.

\begin{aligned} x' &= \gamma(x-vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma \left( t- \frac{vx}{c^2} \right) \end{aligned} 

4. Inverse Lorentz Transformation

Lorentz Transformation에서 사용하였던 자연스러운 $ x $와 $ x' $에 대한 식의 관계를 이용해보자. 말은 이렇지만 사실 아까 생각했던 식 $ x= k(x' + vt') $이 바로 역변환과 마찬가지이다. 같은 방법으로 $ t = k\left(t' + \frac{vx}{c^2} \right) $임을 알 수 있다.

Inverse Lorentz Transformation (역 로렌츠 변환)을 이용하면 시간 지연 효과를 확인할 수 있다. 멈춰있는 것으로 보이는 계에서 상대적으로 움직이는 계에 있는 시간을 보면 느리게 가는 것처럼 보인다. 이 관측자가 측정한 특정한 두 시간의 차를 구하면 그것이 시간 지연 효과를 보일 것이라는 것이 명백하다. $ t_i = \gamma \left(t_i' + \frac{vx}{c^2} \right)~~ (i=1,2) $에서 $ t_2 - t_1 = \gamma (t_2' - t_1') $이다. $ t_2' - t_1' $을 $ t_0 $이라고 하면 어디서 많이 본 식이 아니던가?

5. 잡설

비슷한 방법으로 길이 수축 또한 로렌츠 변환을 통해 살펴볼 수 있다. $ L_0 $은 정지한 계의 고정된 시간 아래에서 움직이는 계의 두 좌표의 차를 구하는 것이지만, $ t_0 $은 움직이는 계에서 측정을 해야 하기 때문이다.^[각주:1] 이 말인즉슨, 시간에 따라 $ x_i $의 위치가 종속적이기 때문에 같은 시간 하에서 측정한 $ L_0 $과는 다른 접근이 필요하다는 것이다.

1. 뮤온의 경우로 설명하면, 멈춰있는 기준계에 있는 관측자가 보기에 뮤온의 수명이 연장된 것으로 보인다. [본문으로]