고전역학 문제 하나.

Postscriptum : 모바일로 접속해서 수식이 보이지 않는다면 PC버전으로 보자. 그러면 수식이 표현된다.

이런 문제 처음 봐서 올림.

지면에서 수직으로 spring이 고정되어 세워져 있고, spring과 $m_2$인 토막이 연결되어 있다. 이 system은 멈춰있고 $ m_1 $인 물체를 $ m_2$에서 $h$ 높이에서 $ v_0$로 떨어뜨린다. spring의 mass를 무시할 때, 다음 질문에 답하라. ($ m_2 > m_1 $)

(1) $m_2$는 충돌 후 연직으로 이동하여 gravitational potential energy가 최소가 되었을 때, 원래 위치로부터 최하점까지의 거리는?

$ v_{2,f} = \frac{2m_1}{m_1+m_2} \sqrt{2gh+v_0^2} $이므로,^[각주:1]

$$ E_k = E_{p,~spring} ~;~ \therefore~ x = \frac{2m_1}{m_1+m_2} \sqrt{\frac{m_2 (2gh+v_0^2)}{k}} $$

(2) 충돌 후 $ m_1 $가 h까지 올라갔고 다시 그 높이에서 떨어진다. 이 때 $ m_2 $는 원래 위치로 돌아와 여기서 다시 충돌한다고 할 때, $ k $를 $ m_1,~h,~v_0,~g $만을 이용해 나타내세여.

$ k$를 나타낼 때 $ m_1 $과 $m_2 $가 같이 나오므로 두 mass에 관한 관계식이 필요하다. $ v_{1,f} $의 계수에서 $ m_2 > m_1 $인 것을 유의하며 mechanical energy conservation에 따라,

$$ |v_{1,f}| = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \sqrt{2gh + v_0^2} = \sqrt{2gh} $$

$$ \therefore ~ m_2 = m_1 \frac{1+\sqrt{\frac{2gh + v_0^2}{2gh}}}{\sqrt{\frac{2gh + v_0^2}{2gh}}-1} $$

$ F(t) = - kx(t) = - m_2\omega^2 x(t)~;~ k = m_2\omega^2 $에서 $ kT^2 = m_2 4\pi^2 m_2 $가 성립한다. 또한 주기에 대해 $ h$까지 가는 시간을 $ t' $라고 하면,

$$ |v_{1,f}| = gt ~;~\frac{T}{2} = t' = 2t = \frac{2|v_{1,f}|}{g} ~;~ \therefore~ T = \frac{4|v_{1,f}|}{g}$$

가 성립한다. mechanical energy conservation에 따라, $ |v_{1,f}| = \sqrt{2gh}$이므로, $ \therefore T^2 = 32hg^{-1} $이다. 이것과 $m_1$와 $m_2$에 대한 변환식을 spring constant에 대한 식에 대입하면,

$$ k = \frac{\pi^2 m_1 g}{8h} \frac{1+\sqrt{\frac{2gh + v_0^2}{2gh}}}{\sqrt{\frac{2gh + v_0^2}{2gh}}-1} $$

1. 이거 유도는 생략. [본문으로]