Solubility

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1. Introduction

Solubility (이하 용해도)라면 할 말이 많다. 중학교 때 화학에 한발 다가선 계기였기 때문이다. 하지만 그 이야기는 생략하겠다.

용해도. 많이 쓰이는 뜻으론 물 100 g에 녹을 수 있는 최대 Solute (이하 용질)의 양.

용해도를 항상 따라다니는 석출량 문제. 어떻게 하면 최대한 간단하게 풀 수 있을까? 석출량 문제는 유형으로 정리해보자. 석출된다는 말이 뭔가? 특히 석출량이란 말은 고체에서 쓰고 고체는 압력의 영향을 거의 받지 않으니 - 실제 문제에서도 그렇게 가정을 하므로 - 영향을 주는 요소는 온도뿐이라고 하겠다. 한편, 이 때 또 하나의 가정이 있다. 바로 물이 증발되지 않는다는 것. 이것에서 착안해 물을 없앤다는 문제 혹은 Hydrate(수화물)을 이용한 문제가 나올 수 있다.

그렇다면 문제 유형은 세 가지가 되겠다.

1. 온도를 내린다.

2. 물을 일정량 증발시킨다. (물만 없앤다.)

3. 수화물을 사용한다.

당연히 3번이 몹시 까다로워 보인다. 1번부터 해보자.

2. Problems with T

Recrystallisation (재결정^[각주:1])하기 참 좋은 Potassium nitrate를 예시로 들자. 얘의 용해도를 지정하자. 숫자 자체에 데이터적 의미는 없으며 그냥 숫자가 문자보다 친근하니까 숫자로 표현한다. $ 400 ~K$에서 55, $300~ K$에서 20이라고 하자. 실제와는 당연히 다르다. 용해도 문제에서 실수한다면 그것은 대부분 Solution (용액)과 Solvent (용매)를 구별하지 못한 곳에서 온다. 문제에선 포화 수용액을 냉각시키기 때문이다.

(1) $400 ~K$의 Potassium nitrate 포화 수용액 130 g을 $ 300 ~K $까지 냉각시켰더니 $ n $ g의 결정이 석출되었다. $ n $은 얼마인가?

이렇게 풀면 된다.

$$ \frac{55-20}{155}=\frac{n}{130} $$

간단하다. 우리는 다른 모든 양을 생각하지 않았다. 단 초기의 포화 수용액 양과 비교, 그리고 얼마가 석출되는지를 비교했다. 이게 가능한 이유는 용해도의 정의를 solvent에 대해 했기 때문이다. 이것 때문에 원래(?) 방법으로 계산할 때 오류가 발생한다. 이런 오류.

$$ \frac{55}{155}=\frac{x_1}{130} $$

위처럼 130 g에서의 용해도를 구한다. 그리고,

$$ \frac{20}{120}=\frac{x_2}{130} $$

이렇게 냉각할 solution 쪽에서도 구해 $ n= x_1 - x_2 $라고 하면...

틀린다.

이런 일이 발생하는 이유는 아까 말했듯이 solvent와 solution의 차이를 고려하지 않았기 때문이다. 저 방법으로 풀고 싶다면 $\frac{20}{100}=\frac{x_2}{100} $이라고 해줘야겠다. 난독이라 틀린 그림 찾기를 못한다면 130→100, 120→100이 되었다는 것을 밝힌다. 그럼 왜 그렇게 되느냐? $x_1 $을 구하면 $ 130-x_1$은 물이다. 그런데 $ x_2 \neq x_1 $에서 물의 양이 변하면 되겠나? 따라서 $130$을 쓸 수 없다. 곧 처음엔 solution이다 보니 어쩔 수 없이 물의 양과 $x_1$을 구했지만 그게 정해진 순간 이제 그러면 안 된다.

그런데 이렇게 풀고 싶은가? 이렇게 귀찮은 일을 왜 하나? 위 쉬운 방법대로 하자.

3. Problems with evaporation

(2) $ 300 ~K$의 potassium nitrate 포화수용액 130 g을 가열하여 물만 40 g 증발시킨 후 온도를 $ 300 ~K$로 한다면 $ n $ g의 결정이 석출된다. $ n $은 얼마인가?

극단적으로 생각하여 solvent를 모두 증발시키면 용해도 그 자체가 석출된다. 이건 물 100 g의 이야기이지만 우린 이걸 적용할 수 있다.

$$ \frac{20}{100}=\frac{n}{40} $$

처럼 풀면 되겠다. 숫자가 너무나 착해서 답이 암산으로 나온다. 그럼 다음으로 이 두 유형을 합쳐보자(!)

4. Problems with hydrates

(3) $400 ~K$의 Potassium nitrate 포화수용액 130 g을 가열하여 물만 40 g 증발시킨 후 $ 300 ~K $까지 냉각시켰더니 $ n $ g의 결정이 석출되었다. $ n $은 얼마인가?

이 문제에서 특별하게 요구하는 점 (혹은 우리가 알아야 할 것)은 항상 포화수용액 상태를 유지하게 하라는 것이다.

$$ \frac{55}{100}=\frac{x_1}{40} $$

위 식에서 우린 40 g이 증발되고 이 용액이 $400 ~K$로 냉각되었을 때 석출되는 양을 구했다. 이 순간, 용액은 다시 포화수용액이 된다. 다시 말하면 증발과 냉각은 따로 계산할 수 있다는 것.

$$ \frac{55-20}{155}=\frac{x_2}{130-40-x_1} $$

남은 것은 $ x_1$과 $ x_2$를 더해 $ n $을 구하는 것뿐. 혹시 이 방법이 아닐까 염려스러워 검산도 해봤다. 어쨌든 맞는 것 같다.

이제 남은 건 3번 hydrate. hydrate는 물에 녹으면 포함하고 있는 물 분자만큼 물이 증가한다. 예를 들어 Copper(II) sulfate pentahydrate를 다뤄보자. 얘는 분자 하나에 물이 5개 있다. 정확하겐 착이온 형성하는 곳에 4개가 들어가 있고 하나는 그냥 붙어있는 것.

어찌 되었든 아직 이 경우는 쉬운 방법을 찾지 못했다. 예시를 통하여 알아보겠다. 답답허다.

(4) $ 400 ~K $의 Copper(II) sulfate 포화수용액 100 g을 $ 300 ~ K$까지 냉각시키면, Copper(II) sulfate pentahydrate 결정이 얼마나 석출될까? 이때 무수물인 Copper(II) sulfate의 용해도는 $300 ~K$에서 16, $ 400 ~K $에서 64라고 하자.

$ n$을 $CuSO_4 \cdot 5H_2O _{(s)}$의 석출량이라고 하자. 그러면 100 g 중 존재하는 물과 copper sulfate의 비는 60.97:39.03이다. 그러면,

$$ 60.97-\frac{9}{25}n ~:~39.03-\frac{16}{25}n~=~100~:~16 $$

이 성립한다. $CuSO_4 \cdot 5H_2O _{(s)}$중 물에서 나온 질량은 물에서 빼는 것이다. 석출량은 $39.03-(39.03-\frac{16}{25}n) + 60.97-(60.97-\frac{9}{25}n)$이고 곧 이건 $n$이다. 쉬운 풀이가 있으면 알려줬으면 한다.

5. 잡설

이렇게 고체의 용해도 관련 문제를 조금 정리해봤다. 하지만 아직도 hydrate는 확실치 않다.

1. 분별결정과 똑같은 의미로 쓰겠다. [본문으로]